Пифагор теоремасынан да тиімді әдіс таптық

Бірақ, ол ескерусіз қалып келеді

Қоғамның тарихи дамуында мынадай екі үдеріс ажырамастай өте тығыз байланыста жүріп отырады. Оның алғашқысы – адамның шығармашылық еңбегінің арқасында қоршаған ортаның қыр-сырын танып білуі болса, екіншісі – өмір жалғасы, жас  ұрпақты оқыту. Танымның мақсаты – объективті дүниенің жұмбақ сырларын, даму заңдылықтарын ашу, ал оқытудың мақсаты – таным анықтаған дәйектер мен заңдылықтарды, білімді халыққа меңгерту.

Қашан да таным оқыту үдерісінің алдында жүреді. Адамзат техникалық прогресс жолымен алға басқан сайын адамдардың алдына бұрынғыдан да күрделі таным міндеттері қойылады. Оқытудың бағыт-бағдары,  бағдарламасы да осыған сай өзгеріп отырады. Адамзат тіршілік етіп отырған  кезде бұл екі үдерістің де шексіз дами беретіні анық.

Қай ғылымда болсын жаңалық ашып, белгілі бір мәселенің шешімін таба салу оңай шаруа емес. Кейбір мәселе бірден шешіліп жатса, көптеген жұмбақтың сырын ашу ғасырларға, мыңдаған жылдарға ұласады, тіпті кейбірінің шешімі табылмауы да мүмкін.

Немістің математика тарихшысы М.Б.Кантор геометриядағы «Пифагор теоремасы» деп аталатын ең негізгі заңдылықтардың бірінің адамзатқа белгілі болып, оны қанағаттандыратын алғашқы (3,4,5) сандары үштігінің табылғанына төрт мың үш жүз жылдан асты дейді. Бұл теореманы ол заңдылық анықталғаннан мыңдаған жылдардан кейін алғаш рет ежелгі грек математигі Пифагор (б.д.д. VI ғ.) дәлелдеді, осы себепті теорема Пифагордың атымен аталады. Осы теореманы қанағаттандыратын пифагор сандарын табудың алғашқы формуласы да мәселе қойылғаннан бір мың сегіз жылдай уақыт өткенде Пифагор мектебінде қорытылып шығарылды.

Пифагор сандарын табу мәселесін бұдан кейін ежелгі грек философы Платон (б.д.д. 427-347) жалғастырып, жетілдірді. Ғылымдағы осы тарихи мәселемен ежелгі грек математигі Евклид (б.д.д. ІІІ ғ.) те айналысып, өзінің  атақты «Бастамалар» атты еңбегінде пифагор үштіктерін табудың жалпы тәсілін жазды. Бұл формулаларды гректерге дейін ежелгі үнділер анықтады деген дәйектерге қарамастан, ол  Евклидтің формуласы деп аталып жүр. Пифагор сандарын табудың жеке бір тәсілін Месснер анықтаса, одан өзге формуланың бір түрін орыс математигі Я.И.Перельман (1882-1942) қорытып шығарды.

Осында сөз болған, Пифагордан бастап Перельманға дейінгі екі жарым мың жылдай уақытта анықталған формулалардың барлығы ғылымда Пифагор сандарын табу мәселесінде ғана қарастырылып, мектептік геометрияда  қолданылмай жүр. Оның үстіне, олардың ешқайсысымен мүмкін болатын барлық Пифагор сандарының толық табылмайтыны да белгілі. Олай болса, осы дәйектерді негізге ала отырып, Пифагор сандарын табу немесе Пифагор теңдеуін шешу мәселесі әлі күнге толық шешімін таппай келеді деген қорытынды жасауымызға болады.

Соңғы жылдары Пифагор сандарының қасиеттерін геометриялық есептерді шешуде қолдану мәселелерімен айналыстым. Нәтижесінде, Пифагор теңдеуін шешудің бұрынғылардан өзгеше және мүмкіндіктері олардан жоғары формулаларын қорытып шығардым. Сонымен бірге, Пифагор теңдеуіне қатысты мәселелерді көптеген геометриялық есептерді шешуде қолданудың жаңа бағыттарын көрсетіп, оларды мектеп оқушылары мен математика пәні мұғалімдерінің назарына ұсындым. Осы мәселе бойынша жазған ғылыми жұмысыма Қазақстан Республикасы Әділет министрлігі авторлық куәлік берді.

Осындай ізденістер кезінде республикалық ғылыми-әдістемелік басылымдардан қазақ математигі Амангелді Садықовтың Пифагор сандарын табатын екі формуланы қорытып шығарған жұмысын кезіктірдім. Ол формулалар қолдануға ыңғайлылығымен, әрі Пифагор сандарын толық табу мүмкіндігімен ерекшеленеді. Садықовтың формулаларымен бұрынғы кейбір формулалар сияқты, үшбұрыштың берілген катетінің мәні бойынша қалған катеті мен гипотенузасы табылып қана қоймайды, Пифагор үшбұрышының берілген гипотенузасының мәні бойынша оның катеттерінің мәндері де табылады. Осы жұмыстарында ол Пифагор үшбұрышын оның берілген периметрі бойынша шешу мәселесін де жан-жақты қарастыра білген. Сондықтан Садықовтың бұл еңбектерін геометрия ғылымына және оны оқыту мәселесіне қосылған елеулі жаңалық деп бағалауымызға болады.

Жалпы алғанда, қандай да бір ғылыми ұғымдар мен олардың арасындағы байланыстарды, қатыстарды бейнелейтін әрбір жаңа заңдылық дер кезінде «жұмыс істеуі», яғни ол жаңалық анықталған күннен бастап адамның күнделікті практикалық қызметінде қолданылуы тиіс. Сонда ғана ол теорияның құны арта түседі. Жаңалығының жемісін көрген ғалым да жаңа ізденістерге ұмтылады.

Ақиқаты солай болғанымен, біздің қоғамымызда бұл талаптың  орындала бермейтінін көріп жүрміз. Оның себептері де әртүрлі. Мысалы, еліміздің беделді математиктерінің бірі: «Гуманитарлық сала секілді емес, математика өзгермейді. Осыдан миллион жыл бұрын қалай болса, бізден кейін миллион жылдан кейін де солай болады. Онда жаңалық ашу жоқ.  Мүмкін емес. Пифагор теоремасы осыдан 2000 жыл бұрын қалай болса, бізден 2000 жыл кейін де солай болып қала береді», – деп ақыл айтады. Осындай, математикада ешнәсе өзгермейді деген түсініктің қоғамда әбден қалыптасып кеткенінің нәтижесі болар, қазіргі мектеп геометриясында осыдан 3-4 мың жыл бұрынғы египеттіктердің ескірген түсінігімен, трапецияның «тік бұрышты трапеция» және «тең бүйірлі трапеция» деген түрлері ғана оқытылып жүр. Ал біздің, трапецияның бұлардан басқа «сүйір бұрышты трапеция» және «доғал бұрышты трапеция» деген түрлерінің болатынын анықтап, ғылымдағы орын алып келген қате пайымды түзеткенімізге тура ширек ғасыр болды. Дегенмен, біздің қоғамымызда ғылымды қатесіз, осы заманғы түсінікпен оқытуды ойлап жүрген ешкім байқалмайды.

Трапецияның жаңа түрлерін тапқан кезде оның бірнеше жаңа қасиетін дәлелдеп, ауданын есептейтін екі формула қорытып шығарғанмын. Математикада жаңалық ашу мүмкін емес деп жүрген академик ол формулаларды «методика» деп бағалады. Оның осы сөзінен: «ауданды есептейтін формулалар таба қоятындай Герон ба едің?» деген ішкі ойы байқалады. Осы пиғылдағы қазіргі геометрия оқулықтарының авторлары мен әдіскер ғалымдар да ауылдағы қазақ мектебінде анықталған осындай құнды жаңалықтарға жиырма бес жылдан бері «шекелерінен қарап»  келеді. Олар ғылымдағы соңғы кездері өзіміз анықтаған тәжірибемізді насихаттаудан гөрі, еңбектерінде «математикаға «+» және «- » таңбаларын 1489 жылы чех Я.Видман, ал «=» таңбасын 1557 жылы ағылшын Р.Рекорд енгізді» деулері арқылы өздерінің «көпбілетіндіктерін» көрсеткісі келетін сияқты.

А.Садықов пен мен қорытып шығарған формулалардың құрылымдары бір-бірінен өзгеше болғанымен, олармен Пифагор теңдеуінің мүмкін болатын барлық шешімдері табылатын болды. Сондықтан осыдан былай, математикадағы Пифагор теңдеуін шешу мәселесі толық шешімін тапты деуімізге  болады. Одан бөлек, оларды көптеген геометриялық есептерді шешуде тиімді қолдануға да болады. Мысалы, біздің формулалармен Пифагор үшбұрышының белгілі бір қабырғасының мәні бойынша қалған екі белгісіз қабырғасының мәнін бірден табуға болады. Ал Пифагор теоремасының бұндай мүмкіндігі жоқ екені геометрия оқыған жалпы көпшілікке белгілі.

Қорыта айтқанда, біз жарты ғасырдай шәкірт оқыта жүріп жинақтаған тәжірибемізді, танып-білген жаңалықтарымызды дер кезінде көпшіліктің назарына ұсынып келеміз. Енді сөз етіп отырған жаңалықтарды мектеп оқулықтарына енгізетін болсақ, бұнымыз елімізге ғана емес, әлемдік ғылымға, жалпы өркениетке қосылған игілікті істердің қатарына қосылар еді.